Делители и кратные правило

Рубрики Статьи

Урок по математике в 5-м классе по теме: «Делители и кратные»

Разделы: Математика

Программа: “Школа 2000…”, авторы Г.В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон.

Тема урока. Делители и кратные.

Тип урока. “Открытие” нового знания.

Учитель: Добрый день, ребята. Садитесь. Откройте тетради, запишите дату, “Классная работа” и оставьте место, чтобы позже вписать тему нашего урока.

А для того, чтобы узнать, чем мы сегодня будем заниматься на уроке, начнем с разминки.

На доске записи:

Учитель: Что интересного записано на доске?

Учитель: Чем похожи эти уравнения?

Ученик: Одинаковое делимое, неизвестное – делитель числа 15. Необходимо выслушать разные варианты ответов детей).

Учитель: А теперь давайте найдем делители числа 15. Решим первое уравнение в тетрадях.

(Один ученик диктует с места, объясняя правило нахождения неизвестного компонента, а остальные — пишут под диктовку в тетрадях).

Учитель: Хорошо. А остальные давайте решим устно. (Учащиеся по одному проговаривают, а учитель пишет ответы на доске).

Учитель: Почему не можете найти c в последнем уравнении?

Ученик: Не делится без остатка.

Учитель: Вспомните определение делителя.

Ученик: Делитель – это число, на которое делится данное число без остатка.

Учитель: Сколько делителей числа 15 мы нашли?

Ученик: Четыре.

Учитель: А еще можете назвать?

Ученик: Нет.

Учитель: А знаете, как записать все делители числа 15 на математическом языке?

(Выслушать разные варианты детей).

Учитель: А мне понравилась такая запись: Д(15) = . (Учитель пишет на доске, дети – в тетрадях).

Учитель: А теперь запишите делители в порядке убывания. (Один ученик – на доске).

Учитель: Хорошо. Назовите мне сейчас делители числа 20. (Дети называют в любом порядке, учитель записывает их на доске).

Учитель: Запишите их сейчас на математическом языке, располагая в порядке убывания.

(Одного ученика можно вызвать к закрытой части доски или заранее заготовить верную запись: Д(20) = ).

Учитель: Посмотрите внимательно, что мы получили. Что интересного можно заметить?

Ученик: Есть общие делители, наибольшее и наименьшее число.

Учитель: Попробуйте сделать вывод.

Ученик: Самый наименьший делитель любого числа – это 1, а наибольший – само число.

Учитель: А я еще кое – что заметила. Есть парные делители. Как вы думаете, что значит и найдите их.

Ученик: Произведение парных делителей равно самому числу. (Учащиеся приводят примеры парных делителей).

Учитель: А теперь назовите общие делители. Давайте попробуем записать на математическом языке. (Дети предлагают, а учитель записывает на доске и появляется запись: Д(15; 20) = ).

Учитель: Хорошо. Молодцы.

Учитель: А сейчас посмотрите на следующие интересные записи.

На доске записи:

Учитель: Что интересного заметили?

Ученик: Числа делятся на 3, неизвестно делимое.

Учитель: Найдите неизвестное делимое первого уравнения в тетрадях. (Один ученик с места диктует с полным объяснением правил нахождения компонентов).

Учитель: Остальные решаем устно. (Дети по одному говорят, учитель пишет ответы на доске).

Учитель: Итак, мы решили все уравнения. А как по – другому называется делимое кто-нибудь помнит? Шепните мне на ушко. А кто не вспомнил – для вас это тайна. И чтобы открыть эту тайну нам придется потрудиться: расположите ответы в порядке возрастания. (Дети пишут в тетрадях, затем спросить у нескольких человек).

Учитель: Так как же называется делимое по-другому?

Ученик: Кратное.

Учитель: Итак, мы нашли кратные числа 3. Попробуйте дать определение кратного.

Ученик: Кратное – это число, которое делится на данное число.

Учитель: А можно еще записать кратные для числа 3?

Ученик: Да.

Учитель: Сколько?

Ученик: Много.

Учитель: Давайте запишем на математическом языке. (Учитель пишет на доске, а дети – в тетрадях : К(3) = ).

Учитель: Посмотрите внимательно и скажите, как получено каждое следующее число?

Ученик: Увеличивается на 3.

Учитель: А сейчас запишите кратные числа 6. (Один человек работает на закрытой части доски или заготовить верный результат заранее К(6) = )

Учитель: А что можете здесь интересного заметить?

Ученик: Наибольшего числа нет, а наименьшее равно самому числу.

Учитель: Кто попробует записать общие кратные? (Вызвать одного ученика к доске записать общие кратные: К(6; 3) = ).

Учитель: Итак, с какими понятиями мы сегодня работали?

Ученик: Делители, кратные, общие делители, общие кратные.

Учитель: Так какую же тему урока мы должны записать?

Ученик: Делители и кратные.

Учитель: Запишите ее в оставленной строке. (Учащиеся вписывают тему урока в тетрадях).

Учитель: Мы с вами вместе поработали, а сейчас давайте посмотрим, что вы усвоили. Вам предстоит самостоятельно выполнить задания.

На доске выписаны задания:

(Можно организовать работу с копиркой, можно заранее заготовить верные ответы (эталон), можно попросить двух учащихся поработать с закрытой частью доски. Затем дети сами проверяют результаты, находят ошибки).

Учитель: Молодцы. Вы сейчас сами поработали и давайте посмотрим, у кого не допущено ни одной ошибки. (Дети поднимают руки). Поставьте себе “5”. У кого допущена одна ошибка? Поставьте себе “4”.

Учитель: Давайте подведем итог. Что нового узнали на уроке? (Выслушать разные ответы учащихся). Кто еще над чем должен поработать?

Учитель: А сейчас запишем домашнее задание: п.1, стр.89; № 401 (1), № 402 (1), № 409 (а).

Учитель: Молодцы. Спасибо за работу на уроке.

Делители и кратные

Попробуйте раздать поровну 15 тетрадей трем одноклассникам.

Это сделать легко, каждый получит по 5 тетрадей.

Но на шестерых одноклассников все 15 тетрадей разделить поровну нельзя.

Каждому достанется по две тетради и три тетради окажутся лишними.

+

Говорят, что число 15 кратно трем, а число 3 является делителем числа 15. Число 15 имеет четыре делителя: 1, 3, 5, 15.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Например, число три является кратным (является делителем) таких чисел, как, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 .

(Здесь только первые 7 чисел натурального ряда, кратных трем (делятся на 3 без остатка). Продолжать можно до бесконечности.

число 15 кратно трем (делится без остатка на 3); число 15 кратное числа три; число три является делителем числа 15.

Делителем натурального числа n называют натуральное число, на которое n делится без остатка.

Например, число 3 называется делителем числа 18, так как число 18 делится на 3 без остатка.

Кратным натурального числа n называют натуральное число, которое делится на n без остатка.

Например, число 36 называется кратным числа 4 (36 кратно четырем), так как 36 делится на 4 без остатка.

Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как делители и кратные.

Что такое делитель?

Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.

Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:

Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:

Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:

10 : 4 = 2 (2 в остатке)

Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.

Данное определение содержит переменную a . Подставим вместо этой переменной любое число, например число 12 и прочитаем определение:

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.

Попробуем перечислить эти числа:

Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:

Кратные числа

Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3, значит 6 является кратным числа 3:

Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

Данное определение содержит переменную a . Подставим вместо этой переменной любое число, например число 5 и прочитаем определение:

Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .

У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить решение задач. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 10

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.

В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.

Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.

Признак делимости на 5 и на 2

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9

Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:

Чётные и нечётные числа

Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:

Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:

21 : 2 = 10 (1 в остатке)

Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.

А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.

Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится на единицу и на само себя:

Значит 5 является простым числом.

Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1:

Значит 4 является составным числом.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же, но записанное в другом виде.

Например, число 6 можно записать в виде суммы 4+2 или в виде частного 12 : 2 или в виде произведения 2×3. Последнюю запись 2×3 можно назвать разложением числа 6 на простые множители.

Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.

Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями из которых состоит число 4

Разложим на множители число 6. Шесть можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями из которых состоит число 6

Разложим на множители число 8. Это число можно разложить на множители 2 и 4, при этом множитель 4 можно разложить на два множителя: 2 и 2 . Поэтому вместо четвёрки записываем её разложение:

Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым.

Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10:

Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:

Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:

Теперь собираем все разложенные множители вместе:

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.

Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.

При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и т.д.

Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.

Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180:

Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.

180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в делится ли 90 на 2.

90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в делится ли 45 на 2.

45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.

15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.

15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:

Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.

5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.

5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.

5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:

Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:

На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы.

Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:

Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.

Нахождение делителей числа

В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.

Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2

6 : 2 = 3

Ещё делителем числа 6 является число 3

6 : 3 = 2

Ещё делителем числа 6 является число 1

6 : 1 = 6

Наконец, делителем числа 6 является само это число

6 : 6 = 1

Перечислим все делители числа 6

1, 2, 3, 6

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти делители числа 12

Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1

Теперь раскладываем число 12 на простые множители:

Получили разложение 2 × 2 × 3.

В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:

Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.

Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4

Занесём число 4 в нашу таблицу делителей

Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:

Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:

Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

Чтобы найти делители числа, нужно:

  • записать в качестве первого делителя единицу;
  • разложить исходное число на простые множители и выписать из полученных простых множителей те множители, которые являются делителями исходного числа (если множитель повторяется, то выписать его нужно только один раз);
  • найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы будут остальными делителями исходного числа.

Пример 2. Найти делители числа 6

Первым делителем числа 6 запишем единицу:

1

Теперь разложим число 6 на простые множители:

Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:

1, 2, 3

Теперь найдём все возможные произведения простых множителей числа 6. В данном случае имеется только одно произведение, а именно 2 × 3 . Это произведение равно 6. Допишем число 6 к нашим делителям:

1, 2, 3, 6

Таким образом, делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6 .

Урок 2. Делители и кратные

II. Сообщение темы урока

№ 15 стр. 6 — решить устно, записав в тетрадь только ответы. Фронтальная проверка.

— Чтобы ответить на вопрос задачи, что нужно сделать? (Найти делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.)

5. Сколько путей из А в В, если из А в D ведет 1 дорога, из D в В — 3 дороги, из А в С — 2 дороги, из С в В — 3? (1 · 3 + 2 · 3 = 9 дорог.)

а) пятьсот; б) четыреста; в) триста; г) двести; д) сто.

Выразите в процентах

Задавать только одно задание (столбик).

V. Изучение нового материала

32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 6

— Запишите в тетрадь 3 числа, кратных числу 15, 23 и 41.

— Назовите наименьшее число из кратных числу 23. (23.)

— Назовите наименьшее число из кратных числу 41. (41.)

— Сейчас я вам покажу, как можно находить сразу два делителя числа 84.

Делители 1 и 84, 2 и 42, 3 и 28, 4 и 21, 6 и 14, 7 и 12 — называют парными делителями.

— Сформулируйте определение парных делителей. (Произведение парных делителей равно самому числу).

— Запишите в порядке возрастания все делители числа 84. Сколько их? (Делители числа 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.)

(Делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.)

— Встали. Закрыли глаза. Вспомнили теплое летнее солнышко.

— Наклонитесь вперед, назад. Потянитесь. Присели, встали.

VII. Работа над задачей

1. № 23 стр. 7—8 (фронтальная работа).

— Давайте вместе разберем решение задачи по учебнику. (Учащиеся читают по одному абзацу, в это время параллельно учитель выполняет на доске схему из учебника, лучше цветными мелками.)

— Запишите в тетрадь:

— Как вы понимаете задачу?

— Какого цвета может быть средняя полоса? (Зеленая, красная или синяя.)

Государственный флаг Российской Федерации трехцветный: белый, синий, красный.

VIII. Закрепление изученного материала

1. № 8 стр. 6 (устно). Обоснуйте свой ответ.

2. № 9 стр. 6 (один ученик у доски, другие — в тетрадях).

— Как доказать, что число 70 525 кратно числу 217? (Нужно 70 525 разделить на 217, если оно делится нацело, то является кратным.)

70 525 : 217 = 325, следовательно, число 70 525 кратно числу 217.

— Как доказать, что число 729 является делителем числа 225 261? (Нужно 225261 разделить на 729, если оно делится без остатка, то число 729 является делителем числа 225 261.)

225 261 : 729 = 309, число 729 является делителем числа 225 261.

Взаимопроверка. Учитель называет ответы.

Вариант II № 6 (г) стр. 5, № 19 (а), № 20 (б) стр. 7.

— Девиз урока мы сегодня претворили в жизнь?

— Какое натуральное число является делителем любого натурального числа?

— Как называется раздел математики, изучающий комбинаторные задачи?

№ 25 (2), 26 стр. 8; № 30 (в) стр. 9.

На усмотрение учителя: можно предложить вести словарь математических терминов по теме «Делимость чисел» для этого использовать половинку тетрадки.

По желанию детей дополнительно № 13 стр. 6 (такие задания можно предлагать более подготовленным учащимся).

Делители и кратные правило

Цели: отработка умения учащихся находить делители и кратные чисел; учить рассуждать и логически мыслить; воспитывать умение оценивать труд товарищей.

— Сегодня девизом нашего урока будут слова Антона Павловича Чехова: «Нужно стремиться к тому, чтобы каждый видел и знал больше, чем видел и знал его отец и дед».

— На уроке мы будем находить делители и кратные чисел, а также решать комбинаторные задачи. Запишем в тетрадь тему урока: «Делители и кратные».

III. Устный счет

1. Повторить правила действий с десятичными дробями.

2. Какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 являются делителями 18, 30, 36, 42?

3. В классе 24 ученика. Их надо разбить на одинаковые группы. По сколько человек может быть в этих группах?

4. Можно ли устно найти сумму 7 · 6 · 64 + 14 · 3 · 36? Расскажите, как это сделать? (42 · 64 + 42 · 36 = 42 · (64 + 36) = 42 · 100 = 4200.)

6. Что означает латинское слово « centum »?

— Какое слово произошло от этого латинского слова? (Процент.)

IV . Индивидуальная работа

Во время проведения устного счета несколько человек работают по индивидуальным карточкам. Можно эти карточки выдавать и на других этапах урока учащимся, которые работают быстрее других.

Выразите десятичной дробью

Можно предложить более подготовленным учащимся проверить решение задания.

— Какое натуральное число называют делителем данного натурального числа?

— Запишите в тетрадь в порядке возрастания все делители чисел 6, 20, 32, 17. На полях отметьте, сколько их.

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. 6

— Какую закономерность вы заметили? (Число 1 является делителем всех этих чисел, и все числа делятся на самих себя.)

— Правильно, число 1 является делителем любого натурального числа. Само число является делителем для самого себя.

— Какое натуральное число называют кратным данному натуральному числу? (Само это число.)

— Какими способами находили кратные? (Последовательно кратные данного числа можно получать, умножая его на 1, 2, 3 и т.д. или прибавляя данное число к предыдущему кратному.)

— Назовите наименьшее число из кратных числу 15. (15.)

— Какой вывод можно сделать? (Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.)

— Приведите примеры парных делителей. (Учащиеся приводят примеры парных делителей).

— Запишите в порядке возрастания все делители числа 96.

— Протяните руки к нему. Обнимите его.

— Вам приятно и спокойно. Вы бодры и полны сил.

— Откройте глаза, и продолжим нашу работу.

Задачи, для решения которых рассматриваются все возможные комбинации, называют комбинаторными. Комбинаторика — это раздел математики, занимающийся комбинаторными задачами.

2. № 24 стр. 8 (под руководством учителя).

— Какого цвета у нас будет верхняя полоса? (Белого.)

— Если средняя полоса зеленая, какого цвета будет нижняя? (Красная или синяя.) и т. д.

— Рассмотрим составление всевозможных вариантов флага с помощью графа, называемого деревом (за внешнее сходство с деревом).

Можно пользоваться следующим правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»: если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n · m различных пар с выбранным первым и вторым элементами.

Это правило справедливо для любого количества элементов. Всего по правилу произведения получили 4 · 3 · 2 = 24 комбинации — 24 варианта флага.

3. Найдите несколько общих кратных чисел:

а) 4 и 5; б) 8 и 12; в) 6 и 9; г) 10 и 15.

(Ответ: а) 20, 40; б) 24, 48; в) 18, 36; г) 30, 60.)

IX. Самостоятельная работа

Вариант I № 6 (в) стр. 5, № 19 (б), № 20 (а) стр. 7.

— У кого возникли вопросы по проверке задания?

X. Подведение итогов урока

— Как называются задачи, которые мы решали на уроке?

Нахождение всех делителей числа

Все делители числа

Все делители, на которые данное число делится нацело можно получить из разложения числа на простые множители.

Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:

  1. Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
  2. Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
  3. Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
  4. В конце добавляем в качестве делителя единицу.

Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:

Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель – это 2 и 5.

Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:

Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Других делителей у числа 40 нет.

Калькулятор нахождения всех делителей

Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку «Вычислить».

ГЛАВА I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Основная цель — завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для освоения действий с обыкновенными дробями.

В данной теме завершается изучение вопросов, связанных с натуральными числами. Основное внимание должно быть уделено знакомству с понятиями «делитель» и «кратное», которые находят применение при сокращении обыкновенных дробей и при их приведении к общему знаменателю. Упражнения полезно выполнять с опорой на таблицу умножения прямым подбором. Понятия «наибольший общий делитель» и «наименьшее общее кратное» вместе с алгоритмами их нахождения можно не рассматривать.

Определенное внимание уделяется знакомству с признаками делимости, понятиям простого и составного чисел. При их изучении целесообразно формировать умения проводить простейшие умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на определение, правило.

Учащиеся должны уметь разложить число на множители. Например, они должны понимать, что 36 = 6 · 6 = 4 · 9. Вопрос о разложении числа на простые множители не относится к числу обязательных.

Информация для учителя

Цель изучения данной темы: сформировать у учащихся представление о понятиях делителя и кратного натурального числа; простого и составного числа; о разложении на простые множители натуральных чисел; о понятиях наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел; о признаках делимости на 2, на 5, на 10, на 3, на 9; научить применять эти понятия для решения задач и примеров; познакомить учащихся с историческими сведениями, связанными с делимостью натуральных чисел.

Учителю необходимо обратить внимание на то, что эта тема для учащихся является сложной для усвоения понятий и правил, поэтому на уроках нужно постоянно к ним обращаться. Последовательно кратные данного числа можно найти, умножая его на 1, 2, 3 и т. д. или прибавляя данное число к предыдущему кратному.

ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ (3 ч)

Урок 1. Делители и кратные

Цели: ввести понятие делителя и кратного натурального числа; отрабатывать умение находить делители и кратные данного натурального числа; совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки; развивать математическую речь учащихся.

На доске записано число, тема урока. Заранее приготовлено оформление доски, способствующее более интересному и наглядному проведению урока.

— Найдите значение выражений: 100 : 25; 66 : 4; 66 : 1; 66 : 11; 100: 1; 100 : 24; 72 : 1; 72 : 3; 72 : 72; 66 : 66; 72 : 8; 100 : 100.

— На какие группы можно разделить данные числовые выражения? Почему? (На 2 группы: 1 группа — деление без остатка, 2 группа — деление с остатком; на 3 группы (по делимому): 1 группа — делимое = 100, 2 группа — делимое = 66, 3 группа — делимое — 72; на 3 группы (по делителю): 1 группа — делитель равен 1, 2 группа — делитель равен самому числу, 3 группа — делитель равен другим числам.)

— Когда одно число делится на другое без остатка, то говорят, что первое число делится на второе.

— Как называются числа при делении?

(Ответ: а — делимое, b — делитель, с — частное)

— Какое число получится при делении 100 на 4?

— Делимое — 1000, делитель — 4. Найдите частное.

— Делитель — 8, частное — 25. Найдите делимое.

— Делимое — 1000, частное 125. Найдите делитель.

— Как называются данные равенства?

Х : 2 = 19; 42 : х = 14 (Уравнения.)

— Как найти неизвестное делимое? (Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.)

— Как найти неизвестный делитель? (Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.)

— Угадайте корень уравнения х, если х + 1 = 10. (х = 9.)

— Назовите наименьшее натуральное число. (1.)

— Какие числа называют натуральными? (Числа, которые используются при счете предметов.)

— Назовите наибольшее натуральное число. (Нельзя, так как любое натуральное число можно увеличить на единицу.)

III. Сообщение темы урока

Учитель объявляет тему и цели урока. В тетрадях записывается число, тема.

— Сегодня на уроке мы познакомимся с новыми понятиями «делители и кратные» натуральных чисел. Запишем в тетрадь тему урока: «Делители и кратные».

IV. Изучение нового материала

1. Работа с учебником.

Задача. 20 яблок надо разделить поровну между 4 ребятами. Сколько яблок получит каждый ребенок? (Каждый получит по 5 яблок.)

— А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами? Сколько яблок получит каждый ребенок? (Каждый получит по 3 яблока, а еще 2 яблока останутся.)

— Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Определение. Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

— Запишем в тетрадь: а : b

число b — делитель числа а; а, b — натуральные числа.

— Назовите делители числа 12. (1, 2, 3, 4, 6 и 12.)

2. № 1 стр. 4 (устно).

(Ответ: по 1 ореху — 36 кучек, по 2 — 18 кучек, по 3 — 12 кучек, по 4 — 9 кучек, по 6 — 6 кучек.)

— Что можно сказать об этих числах? (Они являются делителями числа 36.)

— Прочитайте условие задачи.

— Ответьте на 1-й вопрос. (Да.)

— Почему? (42 делится на 6 без остатка.)

— Ответьте на 2-й вопрос. (Нет.)

— Почему? (Так как 49 не делится на 6 без остатка.)

3. Задача из учебника (стр. 4).

— Прочитайте пример в учебнике на стр. 4.

Задача. Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Можно ли, не раскрывая пачек, взять 8 печений? (Да.) 16 печений? (Да.) 24 печенья? (Да.) А 18 печений? (Нет, не раскрывая пачек, взять 18 печений нельзя.)

— Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Определение. Кратным натурального числа а называют натуральное число с, которое делится без остатка на а.

— Запишем в тетрадь: с : а

число с — кратное числа а; с, а — натуральные числа.

— Слово «крата» — старинное русское слово, означающее раз. Слово «кратный» означает известное число раз. Сколь кратно говорено тебе! Однократный, многократный проступок. (Такое толкование этих слов дает толковый словарь Даля.)

4. — Назовите числа, кратные числу 10. (10, 20, 30, 40, . )

— Можно ли назвать самое большое число, кратное числу 10? (Нет.)

— Почему? (Натуральных чисел бесконечно много.)

— Какой вывод можно сделать? (Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.)

5. — Последовательно кратные данного числа можно получать, умножая его на 1, 2, 3 и т.д. или прибавляя данное число к предыдущему кратному. Например, кратными числу 5 будут числа: 5 · 1 = 5, 5 · 2 = 10, 5 · 3 = 15 и т. д.

Или 5 + 5 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 5 = 20 и т. д.

— Положите голову на парту. Закройте глаза. Расслабьтесь.

— Вспомните самое приятное, что с вами произошло во время каникул.

— Потянитесь, как маленькие котята. Улыбнитесь.

— И с таким прекрасным настроением продолжим нашу работу.

VI. Закрепление изученного материала

— Давайте договоримся, что на всех уроках в случае затруднений можно обращаться за помощью к учителю или к ученикам-консультантам. Для получения консультации достаточно поднять красную сигнальную карточку со знаком вопроса (просто руку и попросить помощи).

— Докажите свой ответ.

Ответ: а) да, верно, 5 — делитель 45, так как 45 : 5 = 9, то есть 45 делится на 5 без остатка; д) не верно, так как 6 не делится на 12 без остатка.

VII. Самостоятельная работа

Учащиеся самостоятельно работают в тетрадях, два ученика решают на обратной стороне доски. Затем учащиеся проверяют решение на доске.

Вариант I № 6 (а), № 7 (б) стр. 5, № 20 (в, е) стр. 7.

Вариант II № 6 (б), № 7 (а) стр. 5, № 20 (г, д) стр. 7.

№ 7 (б) (11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99);

№ 20 (в, е) (3843 : 5 = 768 (ост. 3); 1000 : 9 = 111 (ост. 1)).

№6 (б) (18: 1, 2, 3, 6, 9, 18);

№ 7 (а) (8: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96);

№ 20 (г, д) (4236 : 5 — 847 (ост. 1); 100 : 3 = 33 (ост. 1)).

Ребята, которые справятся с заданием раньше других, могут наряду с учителем выступать в роли консультантов (в том случае, если не выставляется оценка).

VIII . Подведение итогов урока

— С какими новыми понятиями мы познакомились на этом уроке?

— Назовите делители числа 8 и три числа, кратные числу 8.

В зависимости от уровня класса домашнее задание может быть уменьшено или увеличено по усмотрению учителя, но оно не должно превышать треть заданий, выполненных на уроке. По времени занимать не больше 20 минут, некоторые номера можно предлагать только более подготовленным учащимся (индивидуальные домашние задания), но другие ребята могут их сделать, если у них есть желание.

Можно предложить ученикам зафиксировать, сколько времени они тратят на выполнение домашнего задания по математике; продумать систему поощрений за дополнительно выполненные номера.

Учебник стр. 5 (прочитать текст под рубрикой Г «Говори правильно»).

№ 25 (1) стр. 8; № 27 (а, в), 30 (а, б) стр. 9.

Смотрите еще:

  • Растаможка автомобиля в эстонии Растаможка Авто Из Эстонии В Россию Юридическая консультация онлайн (зарегистрировано Федеральной службой по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций (Москва, Китайгородский проезд, д. 7). Свидетельство о регистрации ИА № ФС 77-33620 от 03 октября 2008 г.) © www.9111.ru […]
  • Закон госслужбы россии Федеральный закон от 31 июля 1995 г. N 119-ФЗ "Об основах государственной службы Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) (утратил силу) Федеральный закон от 31 июля 1995 г. N 119-ФЗ"Об основах государственной службы Российской Федерации" С изменениями и […]
  • Квитанция госпошлина за выдачу паспорта Как оплатить госпошлину за паспорт При оформлении и выдаче важных документов, включая паспорт, миграционной службой РФ обязательно взимается государственная пошлина. Госпошлина за паспорт оплачивается в 14 лет при первом получении, в 20 и 45 лет и составляет равен 300 р. Эта […]
  • О мобилизационной подготовке закон Федеральный закон от 26 февраля 1997 г. N 31-ФЗ "О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) С изменениями и дополнениями от: 16 июля 1998 г., 5 августа 2000 г., 30 декабря 2001 г., 21 марта, 24 декабря 2002 г., 23 декабря […]
  • Закон пуассона задачи с решением Формула Пуассона Ряд распределения закона Пуассона имеет вид: Числовые характеристики случайной величины Х Дисперсия распределения Пуассона D[X] = λ Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков? […]
  • В обоснование заявленного ходатайства В течение какого времени суд обязан разрешить ходатайство адвоката о признании доказательства по уголовному делу недопустимым? На основании п. 8 ч. 1 ст. 53 УПК РФ защитник вправе заявлять ходатайства. В соответствии с ч. 1 ст. 271 УПК РФ сторона вправе заявить ходатайство, в […]
  • Автовышка пособие trackeronthego Автовышка Isuzu Elf Инструкция.Rar Isuzu Elf, 1993. Автовышка Isuzu Elf 1993 г 18 метров, 4 300 куб. см., 18 м. Isuzu Elf. Автовышка Isuzu ELF 1995 15 метров, 4 500 куб. см. 1 200 000 р. РЕБЯТА ПОМОГИТЕ СЛОМАЛАСЬ ВЫШКА. (ISUZU ELF вышка AICHI) Проблема такая […]
  • Иска клуб Арбитражная практика МОСКВА, 11 ноя - РАПСИ. Арбитражный суд Краснодарского края в ноябре зарегистрировал два заявления организаций о взыскании с НАО «Футбольный клуб «Кубань» более 56 миллионов рублей задолженности, говорится в материалах суда. Предварительные слушания по иску […]