Правила разложения на простые множители

Рубрики Помощь юриста

Разложение на множители. Примеры.

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык. ) И всё.

Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:

Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.

А можно разложить 12 по-другому? Легко!

Вариантов разложения — бесконечное количество.

Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:

Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x1= 0; x2= 1.

Или, то же самое, но для старшеньких):

Что, не подарок?) А вы читайте дальше, сами удивитесь, как всё просто. Ответ будет: x1= 1; x2= 10.

На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:

Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).

Основные способы разложения на множители.

Вот они, самые популярные способы:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

4. Разложение квадратного трёхчлена.

Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться. Вот по порядочку и начнём.)

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.

Все знают (я верю!)) правило:

Или, в более общем виде:

Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:

Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

В левой части аобщий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.

Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Разложить на множители:

Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:

А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:

Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.

Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!

Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)

Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.

Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)

В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками. Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:

При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.

Двигаемся дальше и усложняем задачу:

Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:

Здесь сразу видно, что общий множителем будет . Вот его и выносим:

А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:

Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:

То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:

При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.

Разложить на множители выражение:

Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е. Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету. Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же. Знакомьтесь:

2. Группировка.

Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:

Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но. Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.

Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:

Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.

Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а-24)

это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да. )

Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:

Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:

Всё наше выражение получится:

Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но. В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3). Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)

Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3), во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3):

Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:

Повторим кратенько суть группировки.

Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.

Добавлю, что группировка — процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)

Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких.

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель. Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:

Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8). И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.

Пример с уравнением:

Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:

Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:

При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое. Стало быть:

С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):

Вот и нашли решение: x1= 0; x2= 1. Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.

Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:

Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x1= 1; x2= -5; x3= 3; x4= -2.

Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)

Ну и, последний пример, для старшеньких):

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.

Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:

Дальше всё, как в предыдущем примере:

Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.

Вот и окончательный ответ: x1= 1; x2= 10.

Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)

В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители. Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600, являются 2, 2 и5. Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20.

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b.

Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.

Разложим на простые множители числа 72 и 96:

То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3. Общими простыми множителями являются 2, 2, 2и 3. Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, чтоНОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1), где m – любое целое положительное число.

К началу страницы

Нахождение нод трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, НОД(d3, a4)=d4, …,НОД(dk-1, ak)=dk.

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78, 294, 570 и 36.

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d2 двух первых чисел 78 и 294. При делении получаем равенства 294=78·3+60; 78=60·1+18;60=18·3+6 и 18=6·3. Таким образом, d2=НОД(78, 294)=6.

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d4=6, то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6.

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Разложим числа 78, 294, 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2·3·3. Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3. Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Разложение на множители. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Многочлен — это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

Раскладывая многочлен на множители, мы упрощаем выражение.

1. Вынесение общего множителя за скобки

2. Использование формул сокращенного умножения.

3. Метод группировки.

Применяется если преобразование не очевидно.

Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

группируем члены парами, получаем:

4. Метод выделения полного квадрата.

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен – многочлен вида

Теорема. Если квадратное уравнение имеет корни , то его можно записать в виде:

Что такое многочлены

Давай-ка разберемся со сложными словами для начала. Прежде всего, напомню, что такое одночлены – это могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных (букв , и т.д.), а так же переменные в степени (посмотри тему «Степень и ее свойства»), например:

Многочлен же, это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

С многочленами разобрались, теперь возникает два вопроса «Что такое множители?» и «Зачем на эти множители что-то раскладывать?».

Так, ну давай по порядку. Как не трудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать». Возьмем, например, число , разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. Так мы можем получить, умножив на , а , в свою очередь, можно представить как произведение и . Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке, не пугайся ее, просто поверь, что так будет проще:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя, т.е. их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, , а ? Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, . Тут , еще раз и – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Разложить выражение на множители можно несколькими способами. Способы способами, но возникает резонный вопрос «Зачем мне раскладывать многочлен на множители, да еще и разными способами?». Разложение на множители – это преобразование, а преобразование выражений в математике – и есть сама математика. Раскладывая на множители, мы упрощаем выражение, делаем из большого и непонятного маленькое и простое, а делать это разными способами принято не просто для того, чтоб похвастаться, какой ты умный и сколько всего ты умеешь, а по причине того, что не к каждому выражению применим тот или иной способ. Ответы на вопросы, «почему?» и «какие способы применяются?», ты прочтешь далее.

Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, .

Так же можно проделать и обратную операцию, , вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как и , например, так и с числами: .

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа , ведь все знают, что числа , и делятся на , а как быть, если вам досталось выражение посложнее:

? Как узнать на что, например, делится число , неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель. Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!

Что ж, вернемся к выражению , может вынести за скобку да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на разделить не удастся, можно воспользоваться признаком делимости на , сумма цифр , и , из которых состоит число , равна , а делится на , значит и делится на . Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления на получаем (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением! Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, , видишь общий множитель? У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на – снова выносим, смотрим что получилось: .

Группировка

А вот тебе еще примерчик:

ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на что-то делится и на , а что-то на и на , но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители? Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель. Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать. Не очень понятно все это? Объясню на примере: В многочлене ­­ , для наглядности, член – ставим после члена – , получаем , группируем первые два члена вместе в отдельной скобке, так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем: , а теперь смотрим по отдельности на каждую из двух кучек, на которые мы разбили выражение скобками. Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения. Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки , а из второй , получаем: , – но это же не разложение, после разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части, имеющие общий множитель – тоже его заметил? – это , его мы и выносим за скобку, вследствие чего получаем финальное произведение , как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего. Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения , которые опять же мы и вынесли за скобку. И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку. Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: . Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

Применение формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения». Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры. Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

А вот что должно было получиться:

Как ты успел заметить эти формулы – весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

Выделение полного квадрата.

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов, в каком случае приходится это делать, узнаешь из примера: Многочлен в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на каике разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник. Для полной формулы квадрата разности здесь нужно вместо . Представим третий член как разность , получим: К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов. ), имеем: , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности. ), представив , как , получим: . Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

Ответы:

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей – многочленов или одночленов.

Сейчас я проиллюстрирую тебе примеры методов разложения на множители

Разложение на множители. Примеры методов разложения:

1. Вынесение скобки. Примеры.

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:

Разложить многочлен на множители .

Еще пример:

Разложи на множители .

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Разложите на множители выражение .

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

3. Метод группировки. Примеры.

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен .

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель , а во второй − :
.

Теперь общий множитель также можно вынести за скобки:
.

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Решение:

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.

Квадратный трехчлен – многочлен вида , где – неизвестное, , , – некоторые числа, причем .

Значения переменной , которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения .

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема.

Разложим на множители квадратный трехчлен: .

Сначала решим квадратное уравнение:

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители: .

Разложение составных чисел на простые множители

Составное число всегда можно единственным способом представить как произведение нескольких простых чисел. При арифметических действиях с обыкновенными дробями, если у них разные знаменатели в одном числовом выражении, необходимо привести дроби к сопоставимому виду.

Чтобы произвести такие действия (преобразовать дроби в равновеликие с одинаковыми знаменателями), нужно иметь систему (правило и форму записи) разложения составных чисел на простые множители.

Определение. Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

  • Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
  • — записать его слева от вертикальной черты;
  • — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
  • — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
  • — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
  • — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
  • — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
  • — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.

Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.

12 376 = 2 * 2 * 2 * 7 * 13 * 17;
1 421 = 7 * 7 * 29;
8 = 2 * 2 * 2.

Внимание! Делители справа у составных чисел увеличиваются слева направо. При разложении на множители простых чисел справа от черты стоит одно число (один делитель) — заданное число, а слева от черты стоят заданное число и число 1.

Урок математики «Разложение чисел на простые множители»

Разделы: Математика

Тема урока: «Разложение чисел на простые множители».

Цель урока: выработать навык разложения чисел на простые множители, повторить признаки делимости чисел и использовать их при разложении чисел на простые множители, продолжать расширять представления учащихся об окружающем их мире.

Учитель: Добрый день, ребята. Садитесь. Откройте тетради и запишите число, классная работа. Тема нашего урока «Разложение чисел на простые множители».
Давайте вспомним, что это значит? Какие числа являются простыми? Какие еще вы знаете числа? К какой группе относится число 1? Теперь мы повторим, изученные нами, признаки делимости чисел на 3, 9, 5, 2 и 10. (Фронтально)

1) Работа в парах. Задание учащимся: заполнить таблицу:

«ш» 312 «ч» 310
«е» 567 «в» 585
«ы» 555 «б» 771

Историческая справка: Пафнутий Львович Чебышев – русский математик. Он занимался изучением свойств простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа. Давайте проверим это на примере нескольких чисел. (Устно)

2) Задание учащимся: Соедините стрелками равные выражения, предварительно разложив числа из левого столбика на простые множители.

На доске записано:

125 2 . 2 . 2 . 2 . 7

315 5 . 5 . 5

444 2 . 2 . 3 . 13

112 2 . 2 . 3 . 37

156 3 . 3 . 5 . 7

Как по-другому можно записать выражения, стоящие в правом столбике?

24 . 7, 53, 22 . 3 . 13, 22 . 3 . 37, 32 . 5 . 7.

2) Проверьте правильность разложения чисел на простые множители, поставив знаки «+» или «–».

3) Задание учащимся: из чисел 84, 44, 75, 60 выберите то, которое раскладывается на наибольшее количество простых множителей. Подчеркните это число зеленым цветом.

4) Работа по группам

Задание учащимся: по разложениям чисел определите, какие из них делятся на 2, на 3, на 4, на 6, на 7:

  1. 2 . 11 . 13
  2. 2 . 5 . 3 . 17
  3. 3 . 5 . 23 . 41
  4. 2 . 2 . 2 . 3 . 7.

Выпишите отдельно разложения чисел, делящихся: на число 4; на число 6.

5) Отвечая на вопросы, впишите верные слова и в выделенном столбце получите имя ученого, математика, жившего до нашей эры.

1. Продолжите предложение: натуральное число, имеющее только два делителя называется …
2. Как называется натуральное число, на которое число а делится без остатка?
3. Какое число является делителем любого натурального числа?
4. Назовите автора первого учебника по математике.
5. Продолжите предложение: натуральное число, имеющее более двух делителей, называется …
6. Как называются числа, используемые при счете?

В данном кроссворде «спрятано» имя Пифагора Самосского (VI в. до н.э.). Историческая справка на эту тему: Пифагор и его ученики изучали вопросы делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496; 8 128.

Подведение итогов урока: Давайте подведем небольшой итог. Какова была цель урока? Мы её достигли?

Домашнее задание: п.41, № 495(3), №503, №507 (2).

Правила разложения на простые множители

Цели: отрабатывать умения и навыки разложения чисел на простые множители, решения комбинаторных задач; повторить степень числа; проверить знания и умения учащихся по изученному материалу.

Информация для учителя

Обратить внимание учащихся на особенность разложения разрядных единиц на простые множители и чисел, оканчивающихся 0.

1. Разложите числа на простые множители: а) 4; б) 6; в) 8; г) 9; д) 10; е) 12; ё) 14; ж) 22.

2. Найдите значение выражений

(Ответ: при а = 1, так как произведение 23а делится только на 1 и само на себя, то есть на 23.)

— Почему не подходят другие значения а? (Если взять любое другое значение а, то тогда произведение будет делится на 23 и на а, следовательно, по определению простых чисел произведение 23а не будет являться простым числом.)

— Составьте аналогичное задание. (При каких значениях с произведение 37с является простым числом?)

(Ответ: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.)

— Как изменить запись неравенства, чтобы простых чисел в решении стало на одно больше? (17? р

Урок по математике для 5 класса «Разложение на простые множители»

Документы в архиве:

Название документа Краткосрочное планирование урок 2 по математике.doc

Краткосрочное планирование урока

Учитель: Манасыпова Светлана Петровна

Раздел: Делимость натуральных чисел.

Разложение натурального числа на простые множители.

Учебник Математики , автор Алдамуратова Т.А./общеобразовательной школы./3-е издание, переработ. — Алматы, «Атамура», 2010г.

Выработать навык разложения чисел на простые множители, повторить признаки делимости чисел и использовать их при разложении чисел на простые множители, продолжать расширять представления учащихся об окружающем их мире. Внедрение элементов критериального оценивания.

Будут уметь раскладывать натуральные числа на простые множители, приобретут навыки работы в группах, научатся в процессе чтения извлекать основную информацию, будут использовать взаимооценивание по критериям оценочных листов. Будут понимать важность работы в сотрудничестве для реализации идей социального взаимодействия.

Организационный момент (5 мин)

Цель: Установление психологического климата в классе. Организация групповой работы.

Здравствуйте, ребята, я рада приветствовать вас на уроке математики!

Игра «Паутина». Участникам объясняется ход игры.

Деление на группы «Паутина»

Давайте вместе разработаем правила работы в группе.

Каждой группе на столы кладется распределение обязанностей:

Организатор – ответственный за работу группы в целом.

Спикер – выступает перед классом с готовым решением группы.

Секретарь – записывает высказанные идей и решения.

Контролер – проверяет, все ли поняли принятые решения.

Участники встают в круг и кидая друг другу клубок говорят комплемент.

С помощью установки психологического климата ученики поделись на группы..

Ученики в группах разрабатывают свои правила. Оглашают вслух и обсуждают обязанности в г руппе.

Карточки «Правила работы в группе»

Ученики наладят контакт в группе

Введение урока: ученикам дано задание на развитие памяти. Посмотрите в течении 1 мин на числа: 17, 77, 31, 144, 32, 555, 41, 23, 54, 888. Запишите их по памяти.

Учитель подводит итог и выводит тему урока на экран.

Учащиеся развивают память.

Проверить учеников на внимательность

Осмысление (30 мин)

-Заполнит таблицу. (см приложение № 1)

— взаимооценивание по данному примеру (см. приложение № 2)

— Историческая справка о ученом математике П.Чебышев. (см.приложение №3)

— Соединить стрелками равные выражения, предварительно разложив числа из левого столбика на простые множители.

(см приложение № 4)

взаимооценивание по данному примеру (см. приложение № 5)

— Выберите из данных чисел, то которое раскладывается на наибольшее количество простых множителей.(см приложение №6)

— взаимооценивание по данному примеру (см приложение № 7)

— по разложениям чисел определите, какие из чисел делятся на 2, на 3, на 4, на 6 (см. приложение №8)

— самопроверка (см. приложение № 9)

— Разгадать кроссворд (см. приложение №10).

— взаимооценивание по данному примеру (см. приложение № 11)

— Историческая справка О С.Пифагор. (см. приложение№ 12)

Метод «Острова» (см. приложение 13)

Каждая группа после выполненного задания самостоятельно проверяют свои ответы

Ученик делает доклад.

Презентация Power Point

Проверить учеников на знание правила признаков делимости на2,3,5,9,10

Умение применять таблицу умножения при вычисление.

Умение пользовать таблицей простых множителей.

Ученики самостоятельно получат имя ученного математика, жившего до нашей эры.

Выставление оценок и подведение итогов урока.

Ученики научаться раскладывать составные числа на простые множители.

Д/з: стр. 71-73 выучить правило,№278 найти значение частного.

«ш» 312 «ч» 310
«е» 567 «в» 585
«ы» 555 «б» 771

Соедините стрелками равные выражения, предварительно разложив числа из левого столбика на простые множители.

125 2 . 2 . 2 . 2 . 7

444 2 . 2 . 3 . 13

112 2 . 2 . 3 . 37

По разложениям чисел определите, какие из них делятся на 2, на 3, на 4, на 6, на 7:

1. Продолжите предложение: натуральное число, имеющее только два делителя называется …
2. Как называется натуральное число, на которое число а делится без остатка?
3. Какое число является делителем любого натурального числа?
4. Назовите автора первого учебника по математике.
5. Продолжите предложение: натуральное число, имеющее более двух делителей, называется …
6. Как называются числа, используемые при счете?

На большом листе бумаги изображается карта с изображением эмоциональных «островов»: о. Радости, о. Грусти, о. Недоумения, о. Тревоги, о. Ожидания, о. Просветления, о. Воодушевления, о. Удовольствия, о. Наслаждения, Бермудский треугольник и др.

Карта островов вывешивается на доске (стене) и ученики выходят к карте и маркером (фломастером) нарисуют или крепят свой кораблик в соответствующем районе карты, который отражает душевное, эмоционально-чувственное состояние после урока или в конце дня, или в конце недели.

Название документа приложение к уроку №2.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Sin x Cos x 17 77 31 144 32 555 41 23 54 888

Тема: Разложение натурального числа на простые множители. ●

Цель урока: Выработать навык разложения чисел на простые множители, повторить признаки делимости чисел и использовать их при разложении чисел на простые множители, продолжать расширять представления учащихся об окружающем их мире

Кратно10 Кратно 9 Кратно 3 Кратно 3 и 5 Кратно 2 и 3 Кратно 9 Кратно 5 и 9 Число 310 567 771 555 312 567 585 Буква ч е б ы ш е в

Чебышев, Пафнутий Львович (родился 14 мая 1821 года — умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) — ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник. Тайный советник, доктор математики и астрономии, член Петербургской и Парижской Академии Наук .Пафнутий Львович Чебышев стяжал себе европейскую известность и почетное место в ряду первостепенных геометров. Известный математик занимался свойством простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного числа.

125 2 . 2 . 2 . 2 . 7 315 5 . 5 . 5 444 2 . 2 . 3 . 13 112 2 . 2 . 3 . 37 156 3 . 3 . 5 . 7

Выберите из чисел, то которое имеет наибольшее количество простых множителей 84 44 75 60

84 имеет 4 множителя 44 имеет 3 множителя 75 имеет 3 множителя 60 имеет 4 множителя

По разложениям чисел определите, какие из них делятся на 2, на 3, на 4, на 6, на 7: 2 . 11 . 13 2 . 5 . 3 . 17 3 . 5 . 23 . 41 2 . 2 . 2 . 3 . 7.

2 . 11 . 13 делится на 2 2 . 5 . 3 . 17 делится на 2, 3, 6 3 . 5 . 23 . 41делится на 3 2 . 2 . 2 . 3 . 7. делится на 2, 4, 6

ПИФАГОР — один из первых др.-греч. философов (6 в. до н.э.), основатель легендарного Пифагорейского товарищества. По совету Фалеса учился мудрости в Египте (22 года), затем в Вавилонии (12 лет), куда попал в числе плененных персами египтян, и, возможно, в Индии. Пифагор и его ученики изучали вопросы делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом

Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас E-mail-рассылку

Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз «Скачать материал».

Смотрите еще:

  • Правило подсчета очков в боксе Правила любительского бокса В мире существуют единые правила проведения поединков для боксеров-любителей утвержденные Международной ассоциацией любительского бокса (АИБА) и Международным Олимпийским комитетом (МОК). Новые правила проведения соревнований по боксу Самые важные […]
  • Замена состава суда Неизменность состава суда На основании ст. 242 УПК РФ при рассмотрении уголовного дела в суде первой инстанции состав суда может быть коллегиальным и единоличным. В коллегиальный состав суда могут входить профессиональный судья и присяжные заседатели, три профессиональных […]
  • Простой бланк заявления Письмовник Деловое письмо Этот вид документов состоит из следующих реквизитов: Схема расположения реквизитов заявления: Прошу принять меня на должность начальника бюро корреспонденции. В 1979 году я окончила Московский государственный историко-архивный институт. До октября 1991 […]
  • Правило электро установок ПУЭ-7 Правила устройства электроустановок 2009 г Раздел 1 ПУЭ Общие правила Глава 1.1. Общая часть Глава 1.2. Электроснабжение и электрические сети Глава 1.3. Выбор проводников по нагреву, экономической плотности тока и по условиям короны Глава 1.4. Выбор электрических […]
  • Экспертиза рост Экспертиза дорожно-транспортных происшествий Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности "Организация дорожного движения" МОСКВА "ТРАНСПОРТ" 1989 ББК 39.808 И43 УДК 656.13.08: […]
  • Сказка про спор овощей Логопедическая сказка «Самый, самый…» (спор овощей) - презентация Презентация была опубликована 4 года назад пользователемМарианна Филькина Похожие презентации Презентация на тему: " Логопедическая сказка «Самый, самый…» (спор овощей)" — Транскрипт: 1 Логопедическая сказка […]
  • Приказ о установлении графика работы Приказ о графике рабочего времени Образец приказа о графике рабочего времени О графике рабочего времени В соответствии со статьями 100, 103, 104, 73 ТК РФ и Правилами внутреннего трудового распорядка ПАО «Организация», в целях оптимального режима работы предприятия и повышения […]
  • Газоснабжение нормы правила СНиП 2.04.08-87 "Газоснабжение" СНиП 2.04. 08-87*СТРОИТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ И ПРАВИЛА ГАЗОСНАБЖЕНИЕ РАЗРАБОТАНЫ Гипрониигазом Минжилкомхоза РСФСР (Г. Б. Божедомов — руководитель темы, Н. А. Морозова) с участием Ленгипроинжпроекта Ленгорисполкома, Мосгазниипроекта Мосгорисполкома, […]